3. Постройте треугольник ВСУ, если В(6; 1), С(4; 4), У(-1; -3). Запишите координаты точек пересечения большей стороны этого треугольника с осями координат.

Решение:

Для начала найдём длины сторон треугольника ВСУ, используя формулу расстояния между двумя точками \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\).

1. Сторона ВС:

\(BC = \sqrt{(4-6)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\)

2. Сторона СУ:

\(CU = \sqrt{(-1-4)^2 + (-3-4)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-7)^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74}\)

3. Сторона УВ:

\(UV = \sqrt{(6-(-1))^2 + (1-(-3))^2} = \sqrt{(6+1)^2 + (1+3)^2} = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}\)

Сравним длины сторон: \(\sqrt{13} \approx 3.6\), \(\sqrt{74} \approx 8.6\), \(\sqrt{65} \approx 8.06\). Наибольшая сторона — СУ.

Теперь найдём уравнения прямых, содержащих стороны треугольника.

Прямая СУ:

Уравнение прямой, проходящей через точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), имеет вид: \(\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\).

Для точек С(4; 4) и У(-1; -3):

\(\frac{y - 4}{-3 - 4} = \frac{x - 4}{-1 - 4}\)

\(\frac{y - 4}{-7} = \frac{x - 4}{-5}\)

\(-5(y - 4) = -7(x - 4)\)

\(-5y + 20 = -7x + 28\)

\(7x - 5y - 8 = 0\)

Пересечение с осью Ох (y=0):

\(7x - 5(0) - 8 = 0\)

\(7x = 8\)

\(x = \frac{8}{7}\)

Точка пересечения с осью Ох: \((\frac{8}{7}; 0)\)

Пересечение с осью Оу (x=0):

\(7(0) - 5y - 8 = 0\)

\(-5y = 8\)

\(y = -\frac{8}{5}\)

Точка пересечения с осью Оу: \((0; -\frac{8}{5})\)

Прямая ВС:

Для точек В(6; 1) и С(4; 4):

\(\frac{y - 1}{4 - 1} = \frac{x - 6}{4 - 6}\)

\(\frac{y - 1}{3} = \frac{x - 6}{-2}\)

\(-2(y - 1) = 3(x - 6)\)

\(-2y + 2 = 3x - 18\)

\(3x + 2y - 20 = 0\)

Пересечение с осью Ох (y=0):

\(3x + 2(0) - 20 = 0\)

\(3x = 20\)

\(x = \frac{20}{3}\)

Точка пересечения с осью Ох: \((\frac{20}{3}; 0)\)

Пересечение с осью Оу (x=0):

\(3(0) + 2y - 20 = 0\)

\(2y = 20\)

\(y = 10\)

Точка пересечения с осью Оу: \((0; 10)\)

Прямая УВ:

Для точек У(-1; -3) и В(6; 1):

\(\frac{y - (-3)}{1 - (-3)} = \frac{x - (-1)}{6 - (-1)}\)

\(\frac{y + 3}{4} = \frac{x + 1}{7}\)

\(7(y + 3) = 4(x + 1)\)

\(7y + 21 = 4x + 4\)

\(4x - 7y - 17 = 0\)

Пересечение с осью Ох (y=0):

\(4x - 7(0) - 17 = 0\)

\(4x = 17\)

\(x = \frac{17}{4}\)

Точка пересечения с осью Ох: \((\frac{17}{4}; 0)\)

Пересечение с осью Оу (x=0):

\(4(0) - 7y - 17 = 0\)

\(-7y = 17\)

\(y = -\frac{17}{7}\)

Точка пересечения с осью Оу: \((0; -\frac{17}{7})\)

Вывод: Наибольшая сторона треугольника — СУ. Уравнение прямой, содержащей эту сторону: \(7x - 5y - 8 = 0\).

Точка пересечения большей стороны (СУ) с осью Ох: \((\frac{8}{7}; 0)\).

Точка пересечения большей стороны (СУ) с осью Оу: \((0; -\frac{8}{5})\).

Ответ: Точки пересечения большей стороны (СУ) с осями координат: \((\frac{8}{7}; 0)\) и \((0; -\frac{8}{5})\).