3. Преобразуйте выражение: a) (\(\frac{1}{3}x^{-1}y^2\))^-2; б) (\(\frac{3x^{-1}}{4y^{-3}}\))^{-1} ⋅ 6xy².

Решение:

• a) (\(\frac{1}{3}x^{-1}y^2\))^-2
  1. Возведем каждый множитель в степень -2: (1/3)^-2 ⋅ (x^-1)^-2 ⋅ (y²)^-2.
  2. (1/3)^-2 = 3² = 9.
  3. (x^-1)^-2 = x^(-1)⋅(-2) = x².
  4. (y²)^-2 = y^2⋅(-2) = y^-4.
  5. Объединим результаты: 9x²y^-4.
  6. Перепишем y^-4 как 1/y⁴: 9x²/y⁴.
• б) (\(\frac{3x^{-1}}{4y^{-3}}\))^{-1} ⋅ 6xy²
  1. Сначала раскроем скобки, возведя дробь в степень -1. Это значит, что дробь нужно перевернуть, а показатели степеней поменять знак: \(\frac{4y^{-3}}{3x^{-1}}\).
  2. Теперь перемножим полученное выражение на 6xy²: \(\frac{4y^{-3}}{3x^{-1}}\)\, ⋅ \(6xy^2\).
  3. Перепишем отрицательные степени как положительные в знаменателе и числителе: \(\frac{4}{y^3}\) ⋅ \(\frac{x}{3}\) ⋅ \(6xy^2\).
  4. Умножим дроби: \(\frac{4x ⋅ 6xy^2}{3y^3}\).
  5. Упростим числитель: \(\frac{24x^2y^2}{3y^3}\).
  6. Сократим дробь: \(\frac{8x^2}{y}\).

Ответ: a) \(\frac{9x^2}{y^4}\); б) \(\frac{8x^2}{y}\).