3. Преобразуйте выражение: a) \(\frac{1}{6}x^{-4}y^2\)^{-1}; б) \(\frac{3a^{-4}}{2b^{-3}}\)^{-2} \(\cdot\) 10a^7b^3.

Решение:

1. а) Используем свойство степени \( (ab)^n = a^n b^n \) и \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \):
   \( \left(\frac{1}{6}x^{-4}y^2\right)^{-1} = \left(\frac{1}{6}\right)^{-1} \cdot (x^{-4})^{-1} \cdot (y^2)^{-1} = 6 \cdot x^{(-4) \cdot (-1)} \cdot y^{2 \cdot (-1)} = 6 \cdot x^4 \cdot y^{-2} = \frac{6x^4}{y^2} \).
2. б) Сначала раскроем скобки, используя свойство \( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \) и \( (a^m)^n = a^{mn} \), а также \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \):
   \( \left(\frac{3a^{-4}}{2b^{-3}}\right)^{-2} = \frac{(3a^{-4})^{-2}}{(2b^{-3})^{-2}} = \frac{3^{-2} \cdot (a^{-4})^{-2}}{2^{-2} \cdot (b^{-3})^{-2}} = \frac{3^{-2} a^{8}}{2^{-2} b^{6}} \).
   Теперь умножим на \( 10a^7b^3 \):
   \( \frac{3^{-2} a^{8}}{2^{-2} b^{6}} \cdot 10a^7b^3 = \frac{1}{9} a^8 \cdot \frac{1}{\frac{1}{4}} b^{-6} \cdot 10a^7b^3 = \frac{1}{9} a^8 \cdot 4b^{-6} \cdot 10a^7b^3 = \frac{40}{9} a^{8+7} b^{-6+3} = \frac{40}{9} a^{15} b^{-3} = \frac{40a^{15}}{9b^3} \).

Ответ: а) \(\frac{6x^4}{y^2}\), б) \(\frac{40a^{15}}{9b^3}\).