3. Преобразуйте выражение: a) (⅓x⁻⁴y³)⁻¹ ; б) (³a⁻⁴/₂b⁻³)⁻² ⋅ 10a⁷b³.

Решение:

а) (⅓x⁻⁴y³)⁻¹

1. Возведем каждый множитель в степень -1. При возведении в степень -1 число переворачивается, а показатели степени меняют знак на противоположный.

\[ \left( \frac{1}{3} x^{-4} y^{3} \right)^{-1} = \left( \frac{1}{3} \right)^{-1} \cdot (x^{-4})^{-1} \cdot (y^{3})^{-1} \]

Теперь выполним возведение в степень:

\[ 3^{1} \cdot x^{-4 \times -1} \cdot y^{3 \times -1} = 3 x^{4} y^{-3} \]

Представим y⁻³ как дробь:

\[ 3 x^{4} y^{-3} = \frac{3x^{4}}{y^{3}} \]

б) (³a⁻⁴/₂b⁻³)⁻² ⋅ 10a⁷b³

1. Сначала упростим выражение в скобках, возведя дробь в степень -2. Для этого перевернем дробь и сменим знак степени на противоположный, а затем возведем числитель и знаменатель в степень 2.

\[ \left( \frac{3a^{-4}}{2b^{-3}} \right)^{-2} = \left( \frac{2b^{-3}}{3a^{-4}} \right)^{2} \]

Возведем числитель и знаменатель в степень 2:

\[ \frac{(2b^{-3})^{2}}{(3a^{-4})^{2}} = \frac{2^{2}(b^{-3})^{2}}{3^{2}(a^{-4})^{2}} = \frac{4b^{-6}}{9a^{-8}} \]

Теперь перемножим полученное выражение с 10a⁷b³:

\[ \frac{4b^{-6}}{9a^{-8}} \cdot 10a^{7}b^{3} = \frac{4  10 \u0002 a^{7} \u0002 b^{-6}}{9 \u0002 a^{-8} \u0002 b^{3}} = \frac{40 a^{7} b^{-6}}{9 a^{-8} b^{3}} \]

Упростим степени с одинаковыми основаниями:

\[ \frac{40}{9} a^{7 - (-8)} b^{-6 - 3} = \frac{40}{9} a^{7+8} b^{-9} = \frac{40}{9} a^{15} b^{-9} \]

Представим b⁻⁹ как дробь:

\[ \frac{40 a^{15}}{9 b^{9}} \]

Ответ: а) $$\frac{3x^{4}}{y^{3}}$$; б) $$\frac{40 a^{15}}{9 b^{9}}$$