3. Прямая CD проходит через вершину C треугольника ABC и не лежит в его плоскости. E и F — середины отрезков AB и BC. а) Докажите, что CD и EF — скрещивающиеся прямые. б) Найдите угол между прямыми CD и EF, если ∠DCA = 60°.

а) Так как E и F — середины сторон AB и BC, EF — средняя линия треугольника ABC, поэтому \(EF \parallel AC\). Прямая CD пересекает плоскость ABC только в точке C, а точка C не лежит на EF; следовательно, CD и EF не пересекаются. Они также не параллельны: если бы \(CD \parallel EF\), то направление CD было бы параллельно прямой AC, и прямая CD через C лежала бы в плоскости ABC. Это противоречит условию. Значит, CD и EF — скрещивающиеся прямые.

б) Через C проведём прямую, параллельную EF. Она параллельна AC, поэтому угол между CD и EF равен углу между CD и AC. По условию \(\angle DCA=60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\).