3. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону \(\vec r=4t^2\vec i+3t\vec j+2\vec k\). Определить: 1) вектор скорости; 2) вектор ускорения; 3) модуль скорости и модуль ускорения в момент времени \(t=2\) с.

1. Вектор скорости — производная радиус-вектора по времени: \(\vec v=\frac{d\vec r}{dt}=8t\vec i+3\vec j\).
2. Вектор ускорения — производная скорости: \(\vec a=\frac{d\vec v}{dt}=8\vec i\).
3. При \(t=2\) с: \(\vec v=16\vec i+3\vec j\), поэтому \(|\vec v|=\sqrt{16^2+3^2}=\sqrt{265}\approx16{,}28\). Ускорение \(\vec a=8\vec i\), следовательно, \(|\vec a|=8\).

Ответ: \(\vec v=8t\vec i+3\vec j\), \(\vec a=8\vec i\); при \(t=2\) с модули равны \(\sqrt{265}\approx16{,}28\) м/с и 8 м/с².