Ответ:

  1. Память о предках — это корни, без которых человек не может расти. Тире ставится между подлежащим и сказуемым; запятая отделяет придаточную часть.
  2. Бабушка говорила, что память требует усилий: нужно слушать старших, читать книги, изучать историю. Запятая отделяет придаточную часть; двоеточие поясняет, в чём заключаются усилия; запятые разделяют однородные инфинитивы.
  3. Человек, не знающий своей истории, легко теряет себя, становится одиноким в потоке времени. Причастный оборот после определяемого слова обособляется; запятая разделяет однородные сказуемые.
  4. Современный мир стремительно меняется, и мы часто забываем о том, что было до нас. Запятая разделяет части сложносочинённого предложения и отделяет придаточную часть.
  5. Я понял, что свобода — это не вседозволенность, а ответственность. Запятая отделяет придаточную часть; тире ставится между подлежащим и сказуемым; запятая перед а — при противопоставлении однородных сказуемых.