3. Расстояние между пристанями A и B равно 90 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 52 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Скорость плота равна скорости течения: 4 км/ч. До момента возвращения лодки плот проплыл 52 км, значит, он находился в пути \(52:4=13\) ч. Лодка отправилась на час позже, поэтому её путь туда и обратно занял \(13-1=12\) ч.

Пусть \(v\) км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. Скорость лодки по течению — \(v+4\), против течения — \(v-4\). Составим уравнение для времени движения:

\[\frac{90}{v+4}+\frac{90}{v-4}=12,\qquad v>4.\]

Сложим дроби: \(180v/(v^2-16)=12\). Тогда \(v^2-15v-16=0\), то есть \((v-16)(v+1)=0\). С учётом условия \(v>4\) получаем \(v=16\).

Проверка: время по течению — \(90:20=4{,}5\) ч, против течения — \(90:12=7{,}5\) ч; всего 12 ч.

Ответ: 16 км/ч.