3. Равные отрезки AB и CD точкой пересечения O делятся пополам. Докажите, что AD = BC.

Так как точка \(O\) делит отрезки \(AB\) и \(CD\) пополам, то

\[AO = BO, \qquad CO = DO.\]

Рассмотрим треугольники \(\triangle AOD\) и \(\triangle BOC\).

1. \(AO = BO\) — поскольку \(O\) является серединой отрезка \(AB\).
2. \(DO = CO\) — поскольку \(O\) является серединой отрезка \(CD\).
3. \(\angle AOD = \angle BOC\) — вертикальные углы.
4. Следовательно, \(\triangle AOD = \triangle BOC\) по двум сторонам и углу между ними.
5. У равных треугольников соответствующие стороны равны, поэтому \(AD = BC\).

Ответ: \(AD = BC\).