3. Разложить на множители: a. a⁵ + a³ - a⁴ - a² b. 2a² - ab - 6b²

Решение:

1. a.
   • Сгруппируем члены выражения:
   • \[ (a^5 + a^3) - (a^4 + a^2) \]
   • Вынесем общие множители из каждой группы:
   • \[ a^3(a^2 + 1) - a^2(a^2 + 1) \]
   • Вынесем общий множитель \[ (a^2 + 1) \]:
   • \[ (a^2 + 1)(a^3 - a^2) \]
   • Вынесем общий множитель \[ a^2 \] из второй скобки:
   • \[ a^2(a^2 + 1)(a - 1) \]
   • b.
   • Это квадратный трехчлен относительно 'a'. Можно разложить его, найдя корни уравнения $$2a^2 - ab - 6b^2 = 0$$.
   • Дискриминант:
   • \[ D = (-b)^2 - 4(2)(-6b^2) = b^2 + 48b^2 = 49b^2 \]
   • Корни:
   • \[ a_1 = \frac{b + \sqrt{49b^2}}{2 \times 2} = \frac{b + 7b}{4} = \frac{8b}{4} = 2b \]
   • \[ a_2 = \frac{b - \sqrt{49b^2}}{2 \times 2} = \frac{b - 7b}{4} = \frac{-6b}{4} = -\frac{3}{2}b \]
   • По формуле разложения квадратного трехчлена $$Ax^2 + Bx + C = A(x - x_1)(x - x_2)$$:
   • \[ 2a^2 - ab - 6b^2 = 2(a - 2b)(a - (-\frac{3}{2}b)) \]
   • \[ 2(a - 2b)(a + \frac{3}{2}b) \]
   • Можно внести множитель 2 во вторую скобку:
   • \[ (a - 2b)\left(2a + 2 \times \frac{3}{2}b\right) \]
   • \[ (a - 2b)(2a + 3b) \]

Ответ: a. $$a^2(a^2 + 1)(a - 1)$$; b. $$(a - 2b)(2a + 3b)$$