4. Выполнить действия: a. \(\left(x - y\right)\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) : \frac{x^2 - y^2}{x^2 y^2}\) b. \(\frac{3a^2b+3ab^2}{a^4-b^4} : \frac{6ab}{5a^2-5b^2}\) c. \(\left(\frac{a}{b}\sqrt{ab} - 2\sqrt{ab} + b\right) \sqrt{\frac{a}{b}} \sqrt{ab}\) d. \(\sqrt{\frac{4a^2-4ab+b^2}{a^2+6ab+9b^2}}\)

Решение:

1. a.
   • Сначала раскроем скобки в первой части выражения:
   • \[ \left(x - y\right)\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = \left(x - y\right)\left(\frac{y + x}{xy}\right) = \frac{(x - y)(x + y)}{xy} = \frac{x^2 - y^2}{xy} \]
   • Теперь выполним деление:
   • \[ \frac{x^2 - y^2}{xy} : \frac{x^2 - y^2}{x^2 y^2} = \frac{x^2 - y^2}{xy} \times \frac{x^2 y^2}{x^2 - y^2} \]
   • Сократим одинаковые множители:
   • \[ \frac{x^2 y^2}{xy} = xy \]
   • b.
   • Разложим числитель и знаменатель первой дроби:
   • \[ 3a^2b+3ab^2 = 3ab(a+b) \]
   • \[ a^4-b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2) = (a-b)(a+b)(a^2+b^2) \]
   • Разложим знаменатель второй дроби:
   • \[ 5a^2-5b^2 = 5(a^2-b^2) = 5(a-b)(a+b) \]
   • Подставим разложенные выражения в исходное:
   • \[ \frac{3ab(a+b)}{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)} : \frac{6ab}{5(a-b)(a+b)} \]
   • \[ \frac{3ab}{(a-b)(a^2+b^2)} : \frac{6ab}{5(a-b)(a+b)} \]
   • Выполним деление (умножение на обратную дробь):
   • \[ \frac{3ab}{(a-b)(a^2+b^2)} \times \frac{5(a-b)(a+b)}{6ab} \]
   • Сократим одинаковые множители:
   • \[ \frac{3ab}{1} \times \frac{5(a+b)}{6ab(a^2+b^2)} \]
   • \[ \frac{1}{1} \times \frac{5(a+b)}{2(a^2+b^2)} = \frac{5(a+b)}{2(a^2+b^2)} \]
   • c.
   • Вынесем общий множитель \( \[ \sqrt{ab} \] из первой скобки:
   • \[ \sqrt{ab} \left(\frac{a}{b} - 2 + \frac{b}{\sqrt{ab}}\right) \sqrt{\frac{a}{b}} \sqrt{ab} \]
   • Заметим, что \( \[ \frac{b}{\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{b^2}}{\sqrt{ab}} = \sqrt{\frac{b^2}{ab}} = \sqrt{\frac{b}{a}} \)
   • Сгруппируем члены и упростим:
   • \[ \left(\frac{a}{b} - 2 + \sqrt{\frac{b}{a}}\right) \sqrt{ab} \sqrt{\frac{a}{b}} \sqrt{ab} \]
   • \[ \left(\frac{a}{b} - 2 + \sqrt{\frac{b}{a}}\right) \times ab \times \sqrt{\frac{a}{b}} \]
   • \[ \left(\frac{a}{b} - 2 + \sqrt{\frac{b}{a}}\right) \times ab \times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \]
   • \[ \left(\frac{a}{b} - 2 + \sqrt{\frac{b}{a}}\right) \times a\sqrt{ab} \]
   • Раскроем скобки:
   • \[ \frac{a}{b} \times a\sqrt{ab} - 2a\sqrt{ab} + \sqrt{\frac{b}{a}} \times a\sqrt{ab} \]
   • \[ \frac{a^2}{b}\sqrt{ab} - 2a\sqrt{ab} + \sqrt{\frac{b}{a}} \times a\sqrt{a}\sqrt{b} \]
   • \[ \frac{a^2}{b}\sqrt{ab} - 2a\sqrt{ab} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \times a\sqrt{ab} \]
   • \[ \frac{a^2}{b}\sqrt{ab} - 2a\sqrt{ab} + \sqrt{ab}\sqrt{b}\sqrt{a} \]
   • \[ \frac{a^2}{b}\sqrt{ab} - 2a\sqrt{ab} + ab \]
   • d.
   • Рассмотрим числитель и знаменатель под корнем отдельно.
   • Числитель: \( \[ 4a^2-4ab+b^2 = (2a-b)^2 \]
   • Знаменатель: \( \[ a^2+6ab+9b^2 = (a+3b)^2 \]
   • Подставим в выражение под корень:
   • \[ \sqrt{\frac{(2a-b)^2}{(a+3b)^2}} \]
   • Извлечем квадратный корень:
   • \[ \frac{|2a-b|}{|a+3b|} \]
   • Если предположить, что $$2a-b 0$$ и $$a+3b 0$$, то:
   • \[ \frac{2a-b}{a+3b} \]

Ответ: a. $$xy$$; b. $$\frac{5(a+b)}{2(a^2+b^2)}$$; c. $$\frac{a^2}{b}\sqrt{ab} - 2a\sqrt{ab} + ab$$; d. $$\frac{|2a-b|}{|a+3b|}$$