Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 3. Разложите на множители: a) \( 7a^2 + 42a + 63; \) б) \( x + y - 5x^2 + 5y^2. \)Фото задания

Ответ:

Решение:

а) \( 7a^2 + 42a + 63 \)

  1. Вынесем общий множитель 7: \( 7(a^2 + 6a + 9) \).
  2. Заметим, что выражение в скобках является полным квадратом суммы \( (a+3)^2 \).
  3. Итого: \( 7(a+3)^2 \).

б) \( x + y - 5x^2 + 5y^2 \)

  1. Сгруппируем члены: \( (x - 5x^2) + (y + 5y^2) \).
  2. Вынесем общие множители из каждой группы: \( x(1 - 5x) + y(1 + 5y) \).
  3. Этот многочлен не раскладывается на множители методом группировки в данном виде. Возможно, в условии опечатка. Если бы было \( x+y-5x^2+5xy^2 \), тогда \( x(1-5x) + y(1+5y^2) \). Если бы было \( x - y - 5x^2 + 5y^2 \), тогда \( (x - 5x^2) - (y - 5y^2) \) = \( x(1-5x) - y(1-5y) \).
  4. Если предположить, что выражение \( x + y - 5x^2 + 5y^2 \) должно было быть \( x + y - 5x + 5y \), то: \( (x - 5x) + (y + 5y) = -4x + 6y = 2(3y - 2x) \).
  5. Если предположить, что выражение \( x + y - 5x^2 + 5y^2 \) должно было быть \( x - 5x^2 + y - 5y^2 \), то: \( x(1 - 5x) + y(1 - 5y) \).
  6. Предположим, что имелось в виду: \( x - y - 5x^2 + 5y^2 \). Группируем: \( (x - 5x^2) - (y - 5y^2) = x(1-5x) - y(1-5y) \).
  7. Если предположить, что имелось в виду \( 5x^2 + 5y^2 - x - y \) то \( 5(x^2+y^2) - (x+y) \).
  8. Наиболее вероятный вариант, учитывая структуру других заданий, — это попытка разложить методом группировки. Если бы было \( x + y - 5x + 5y \), то \( (x-5x) + (y+5y) = -4x + 6y = 2(3y-2x) \).
  9. Если предположить, что имелось в виду \( 5x^2 - 5y^2 + x - y \), то \( 5(x^2-y^2) + (x-y) = 5(x-y)(x+y) + (x-y) = (x-y)(5(x+y)+1) = (x-y)(5x+5y+1) \).
  10. Если же имелось в виду \( x+y-5x^2y^2 \), то это не раскладывается.
  11. Без уточнения корректной формулировки, разложение невозможно. Предположим, что имелось в виду \( x + y - 5(x^2 - y^2) \), что также не дает простого разложения.
  12. Единственный вариант, который дает хоть какое-то разложение, — это если знак перед \( 5y^2 \) был минус, и мы можем сгруппировать: \( (x + y) - (5x^2 - 5y^2) \) = \( (x+y) - 5(x^2-y^2) \) = \( (x+y) - 5(x-y)(x+y) \) = \( (x+y)(1 - 5(x-y)) \) = \( (x+y)(1 - 5x + 5y) \).
  13. Однако, следуя условию, это выражение не раскладывается стандартными методами.

Ответ: а) \( 7(a+3)^2 \); б) выражение не раскладывается на множители стандартными методами.