3. Ребро MC тетраэдра ABCM перпендикулярно плоскости ABC, MC = 12. В треугольнике ABC ∠C = 90°, ∠A = 30°, AB = 18. Какие из следующих утверждений являются верными? а) расстояние от точки B до плоскости ACM равно 9; б) расстояние от точки M до прямой AB равно AM; в) расстояние от точки M до прямой AB равно 9; г) котангенс угла между плоскостью ABC и плоскостью ACM равен 0,75.

Сначала найдём стороны прямоугольного треугольника ABC: BC = AB · sin 30° = 9, AC = AB · cos 30° = 9√3.

1. а) Плоскости ABC и ACM пересекаются по AC. Поскольку BC ⟂ AC, расстояние от B до плоскости ACM равно BC = 9. Утверждение верно.
2. б), в) Проекция M на плоскость ABC — C. Расстояние от M до AB удовлетворяет d² = MC² + d(C, AB)². Высота из C на AB равна AC · BC / AB = 9√3/2, поэтому d² = 144 + 243/4 = 819/4. Значит, d = 3√91/2. Между тем AM = √(MC² + AC²) = 3√43. Эти величины не равны, и d не равно 9. Оба утверждения неверны.
3. г) Плоскости ABC и ACM пересекаются по AC. В плоскости ABC прямая BC перпендикулярна AC, а в плоскости ACM прямая CM перпендикулярна всей плоскости ABC, следовательно, CM ⟂ AC. Поэтому угол между плоскостями равен 90°, а его котангенс равен 0, а не 0,75. Утверждение неверно.

Ответ: верно только утверждение а).