3. Реши короткие задачи. Ответь на вопросы. 1) Найди наименьшее значение трёхчлена x² + 6x + 13 и укажи, при каком x оно достигается. 2) Представь трёхчлен 2x² − 8x + 9 в виде a(x − m)² + n. В ответе укажи m и n. 3) Сколько действительных корней имеет трёхчлен x² − 2x + 5? Ответ обоснуй. 4) Найди корни трёхчлена x² − 8x + 7, используя выделение квадрата.

1. Выделим квадрат:

   x² + 6x + 13 = (x + 3)² + 4.

   Так как квадрат неотрицателен, наименьшее значение равно 4 и достигается при x = −3.

2. 2x² − 8x + 9 = 2(x² − 4x) + 9 = 2((x − 2)² − 4) + 9 = 2(x − 2)² + 1.

   Следовательно, m = 2, n = 1.

3. x² − 2x + 5 = (x − 1)² + 4.

   Правая часть положительна при любом действительном x, поэтому трёхчлен не обращается в ноль.

   Действительных корней нет.

4. x² − 8x + 7 = (x − 4)² − 16 + 7 = (x − 4)² − 9.

   Приравняем к нулю:

   (x − 4)² − 9 = 0,

   (x − 4)² = 9,

   x − 4 = ±3.

   Отсюда x₁ = 1, x₂ = 7.

Ответ: 1) 4 при x = −3; 2) m = 2, n = 1; 3) 0 действительных корней; 4) x₁ = 1, x₂ = 7.