3) Решить показательные неравенства: а) $2^{x+1}+\frac12\cdot2^x<5$; б) $11^{2x^2+3x}\le121$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3) Решить показательные неравенства: а) $2^{x+1}+\frac12\cdot2^x<5$; б) $11^{2x^2+3x}\le121$.$ Фото задания

Accepted Answer

а) Вынесем $2^x$, учитывая, что $2^{x+1}=2\cdot2^x$:

$2\cdot2^x+\frac12\cdot2^x<5\Rightarrow\frac52\cdot2^x<5\Rightarrow2^x<2=2^1.$

Основание 2 больше 1, значит, $x<1$.

б) Представим $121=11^2$. Основание 11 больше 1, поэтому:

$11^{2x^2+3x}\le11^2\Rightarrow2x^2+3x\le2\Rightarrow2x^2+3x-2\le0.$

Разложим квадратный трёхчлен: $(2x-1)(x+2)\le0$. Корни — $-2$ и $\frac12$; выражение неположительно между корнями, включая их.

Ответ: а) $x<1$; б) $x\in[-2;\frac12]$.

3) Решить показательные неравенства: а) \(2^{x+1}+\frac12\cdot2^x<5\); б) \(11^{2x^2+3x}\le121\).