3. Решить систему уравнений. 1. Методом подстановки: { (x + y)/(x² − y²) = 1/4, xy = 21. 2. Методами: а) графическим; б) используя теорему Виета: { x + y = 2, xy = −8. 3. Методами: а) графическим; б) любым вычислительным: { x² + y² = 25, x − y = −1.

1. Так как \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\), то

\(\dfrac{x+y}{(x-y)(x+y)}=\dfrac1{x-y}=\dfrac14\).

Следовательно, \(x-y=4\). Тогда \(x=y+4\).

Подставим в условие \(xy=21\):

\(y(y+4)=21\), \(y^2+4y-21=0\).

Отсюда \(y=3\) или \(y=-7\). Соответственно, \(x=7\) или \(x=-3\).

Ответ: \((7;3)\), \((-3;-7)\).

2. По теореме Виета числа \(x\) и \(y\) являются корнями уравнения \(t^2-2t-8=0\).

\(t^2-2t-8=(t-4)(t+2)=0\), поэтому \(t=4\) или \(t=-2\).

Следовательно, решения: \((4;-2)\) и \((-2;4)\). Графически это точки пересечения прямой \(x+y=2\) и гиперболы \(xy=-8\).

Ответ: \((4;-2)\), \((-2;4)\).

3. Из второго уравнения: \(x=y-1\).

Подставим в первое уравнение:

\((y-1)^2+y^2=25\).

\(2y^2-2y-24=0\), или \(y^2-y-12=0\).

Отсюда \(y=4\) или \(y=-3\). Тогда \(x=3\) или \(x=-4\).

Графически это точки пересечения окружности \(x^2+y^2=25\) и прямой \(x-y=-1\).

Ответ: \((3;4)\), \((-4;-3)\).