4. Решить систему уравнений. 1. Методом подстановки или используя введение вспомогательных переменных: { x² + y² = 8, 1/x² + 1/y² = 1/2. 2. Методами: а) графическим; б) используя теорему Виета: { x − y = 2, xy = 48. 3. Методами: а) графическим; б) любым вычислительным: { x² + y² = 25, x + y = 5.

1. Введём вспомогательные переменные: \(a=x^2\), \(b=y^2\). Тогда

\(a+b=8\), а \(\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac12\).

Следовательно, \(\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac12\). Подставим \(a+b=8\):

\(\dfrac8{ab}=\dfrac12\), откуда \(ab=16\).

Числа \(a\) и \(b\) имеют сумму 8 и произведение 16, значит, \(a=b=4\).

Таким образом, \(x^2=4\), \(y^2=4\), поэтому \(x=\pm2\), \(y=\pm2\).

Ответ: \((2;2)\), \((2;-2)\), \((-2;2)\), \((-2;-2)\).

2. Из первого уравнения: \(x=y+2\).

Подставим во второе уравнение:

\(y(y+2)=48\), \(y^2+2y-48=0\).

По теореме Виета: \(y=6\) или \(y=-8\). Тогда \(x=8\) или \(x=-6\).

Графически это точки пересечения прямой \(x-y=2\) и гиперболы \(xy=48\).

Ответ: \((8;6)\), \((-6;-8)\).

3. Возведём второе уравнение в квадрат:

\((x+y)^2=25\).

Сравнивая с первым уравнением, получаем:

\(x^2+2xy+y^2=x^2+y^2\), поэтому \(2xy=0\), то есть \(xy=0\).

Следовательно, одна из переменных равна нулю. С учётом \(x+y=5\) получаем пары \((0;5)\) и \((5;0)\).

Графически это точки пересечения окружности \(x^2+y^2=25\) и прямой \(x+y=5\).

Ответ: \((0;5)\), \((5;0)\).