№3. Решить систему уравнений: а) \(\begin{cases}x+y=8,\\x^2+y^2=16+2xy.\end{cases}\) б) \(\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-2{,}5,\\3x+y=1.\end{cases}\)

а) Перенесём слагаемые во втором уравнении и применим тождество: \(x^2+y^2-2xy=16\), значит \((x-y)^2=16\). Следовательно, \(x-y=4\) или \(x-y=-4\). Вместе с \(x+y=8\) это даёт пары \((6; 2)\) и \((2; 6)\).

б) Учитываем ограничения \(x\ne0\), \(y\ne0\). Из второго уравнения \(y=1-3x\). Первое уравнение перепишем как \(\frac{x+y}{xy}=-\frac{5}{2}\), то есть \(2x+2y=-5xy\). Подставим \(y=1-3x\): \(2-4x=-5x+15x^2\), откуда \(15x^2-x-2=0\). Разложение: \((5x-2)(3x+1)=0\), поэтому \(x=\frac{2}{5}\) или \(x=-\frac{1}{3}\). Тогда \(y=-\frac{1}{5}\) или \(y=2\) соответственно. Обе пары удовлетворяют ограничениям на знаменатели.

Ответ: а) \((6; 2)\), \((2; 6)\); б) \(\left(\frac{2}{5};-\frac{1}{5}\right)\), \(\left(-\frac{1}{3};2\right)\).