3*. Решить систему уравнений \(\begin{cases}2^x\cdot9^y=162,\\3^x\cdot4^y=48.\end{cases}\)

Разложим числа на простые множители: \(162=2\cdot3^4\), \(48=3\cdot2^4\). Подставим пару \(x=1, y=2\):

\(2^1\cdot9^2=2\cdot81=162\); \(3^1\cdot4^2=3\cdot16=48\).

Проверим, что других решений нет. Возьмём логарифмы уравнений и обозначим \(a=\ln 2\), \(b=\ln 3\). Получим систему \(ax+2by=a+4b\), \(bx+2ay=b+4a\). Её определитель равен \(2(a^2-b^2)\ne0\), поэтому решение единственно.

Ответ: \((1; 2)\).