3. Решить системы уравнений: а) {2^{x+y}=16; 3^y=27^x}; б) {27^y·3^x=1; (1/2)^x·4^y=2}.

а) Преобразуем уравнения к одинаковым основаниям:

\(2^{x+y}=2^4\), значит \(x+y=4\).

\(3^y=(3^3)^x=3^{3x}\), значит \(y=3x\).

Подставим во первое уравнение:

\(x+3x=4\), \(4x=4\), \(x=1\).

\(y=3x=3\).

б) Преобразуем уравнения к основанию 3 и основанию 2:

\(27^y\cdot3^x=3^{3y+x}=1=3^0\), поэтому \(x+3y=0\).

\(\left(\frac12\right)^x\cdot4^y=2^{-x}\cdot2^{2y}=2^1\), поэтому \(-x+2y=1\).

Из первого уравнения \(x=-3y\). Подставим во второе:

\(-(-3y)+2y=1\), \(5y=1\), \(y=\frac15\).

\(x=-3\cdot\frac15=-\frac35\).

Ответ: а) \((x;y)=(1;3)\); б) \((x;y)=\left(-\frac35;\frac15\right)\).