3. Решить системы уравнений: а) $\begin{cases}2^{x+y}=16,\\3^y=27^x;\end{cases}$ б) $\begin{cases}27^y\cdot3^x=1,\\\left(\frac12\right)^{x-1}\cdot4^y=2.\end{cases}$

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Решить системы уравнений: а) $\begin{cases}2^{x+y}=16,\\3^y=27^x;\end{cases}$ б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Перепишем уравнения с одинаковыми основаниями:

$2^{x+y}=2^4\Rightarrow x+y=4$.

$3^y=3^{3x}\Rightarrow y=3x$.

Подставим $y=3x$ в первое равенство: $x+3x=4$, поэтому $x=1$, $y=3$.

б) Запишем уравнения как степени числа 3 и числа 2:

$27^y\cdot3^x=1\Rightarrow3^{3y+x}=3^0\Rightarrow x+3y=0$.

$\left(\frac12\right)^{x-1}\cdot4^y=2\Rightarrow2^{-(x-1)}\cdot2^{2y}=2^1\Rightarrow -x+1+2y=1$, следовательно, $x=2y$.

Подставим $x=2y$ в первое уравнение системы: $2y+3y=0$, откуда $y=0$ и $x=0$.

Ответ: а) $(x;y)=(1;3)$; б) $(x;y)=(0;0)$.

3. Решить системы уравнений: а) \(\begin{cases}2^{x+y}=16,\\3^y=27^x;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}27^y\cdot3^x=1,\\\left(\frac12\right)^{x-1}\cdot4^y=2.\end{cases}\)