3. Решить уравнения: 1) $\sqrt{x-2}=4$; 2) $\sqrt{5-x}=\sqrt{x-2}$; 3) $\sqrt{x+1}=1-x$; 4) $\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+8}=1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Решить уравнения: 1) $\sqrt{x-2}=4$; 2) $\sqrt{5-x}=\sqrt{x-2}$; 3) $\sqrt{x+1}=1-x$; 4)…$ Фото задания

Accepted Answer

Возводим обе части в квадрат: $x-2=16$, откуда $x=18$. Проверка: $\sqrt{18-2}=4$.
Область допустимых значений: $2\le x\le5$. Возводим равные неотрицательные части в квадрат: $5-x=x-2$, поэтому $x=\frac{7}{2}$. Это значение входит в ОДЗ.
Необходимо, чтобы $x\ge-1$ и $1-x\ge0$, то есть $-1\le x\le1$. После возведения в квадрат: $x+1=(1-x)^2$, откуда $x^2-3x=0$, то есть $x=0$ или $x=3$. ОДЗ удовлетворяет только $x=0$; проверка верна.
ОДЗ: $x\ge-\frac13$. Переносим корень: $\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{x+8}$. Возводим в квадрат: $x-4=\sqrt{x+8}$, поэтому дополнительно $x\ge4$. Ещё раз возводим в квадрат: $x^2-9x+8=0$, откуда $x=1$ или $x=8$. Условию $x\ge4$ подходит только $8$. Проверка: $\sqrt{25}-\sqrt{16}=1$.

Ответ: 1) $18$; 2) $\frac72$; 3) $0$; 4) $8$.

3. Решить уравнения: 1) \(\sqrt{x-2}=4\); 2) \(\sqrt{5-x}=\sqrt{x-2}\); 3) \(\sqrt{x+1}=1-x\); 4) \(\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+8}=1\).