3. Решите неравенства: а) $\frac{(x+1)(x-1)}{x+4}<0$; б) $\frac{x^2-6x+9}{x^2-4x-5}\ge0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Решите неравенства: а) $\frac{(x+1)(x-1)}{x+4}<0$; б) $\frac{x^2-6x+9}{x^2-4x-5}\ge0$.$ Фото задания

Accepted Answer

а) Критические точки: нули числителя $-1$ и $1$, нуль знаменателя $-4$ (исключается из ОДЗ). Знаки на промежутках определяются этими точками:

\[\frac{(x+1)(x-1)}{x+4}<0\quad\Longrightarrow\quad x\in(-\infty,-4)\cup(-1,1).\]

Точки $-1$ и $1$ не включаются, поскольку неравенство строгое.

б) Разложим числитель и знаменатель:

\[\frac{x^2-6x+9}{x^2-4x-5}=\frac{(x-3)^2}{(x-5)(x+1)}\ge0.\]

ОДЗ: $x\ne-1$, $x\ne5$. Числитель неотрицателен и равен нулю при $x=3$. Знаменатель положителен при $x<-1$ и $x>5$, отрицателен при \(-1

Ответ: а) $( -\infty,-4)\cup(-1,1)$; б) $( -\infty,-1)\cup\{3\}\cup(5,+\infty)$.

3. Решите неравенства: а) \(\frac{(x+1)(x-1)}{x+4}<0\); б) \(\frac{x^2-6x+9}{x^2-4x-5}\ge0\).