3. Решите неравенство: а) $\frac{(x-2)(x+2)}{x-3}<0$; б) $\frac{x^2-10x+25}{x^2-4x-12}\ge0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Решите неравенство: а) $\frac{(x-2)(x+2)}{x-3}<0$; б) $\frac{x^2-10x+25}{x^2-4x-12}\ge0$.$ Фото задания

3. Решите неравенство: а) $\frac{(x-2)(x+2)}{x-3}<0$; б) $\frac{x^2-10x+25}{x^2-4x-12}\ge0$.

Accepted Answer

а) Критические точки: $-2$, $2$ — нули числителя; $3$ — нуль знаменателя, поэтому эта точка исключается. Знаки дроби на интервалах определяются знаками множителей:

\[\frac{(x-2)(x+2)}{x-3}<0\quad\Longrightarrow\quad x\in(-\infty,-2)\cup(2,3).\]

Точки $-2$ и $2$ не включаются, поскольку неравенство строгое; точка $3$ не входит в область определения.

б) Разложим на множители:

\[\frac{x^2-10x+25}{x^2-4x-12}=\frac{(x-5)^2}{(x-6)(x+2)}.\]

Знаменатель обращается в нуль при $x=-2$ и $x=6$; эти точки исключаются. Квадрат в числителе неотрицателен и равен нулю при $x=5$. Знаменатель положителен при $x<-2$ и $x>6$, отрицателен при \(-2

Ответ: а) $(-\infty,-2)\cup(2,3)$; б) $(-\infty,-2)\cup\{5\}\cup(6,+\infty)$.

3. Решите неравенство: а) \(\frac{(x-2)(x+2)}{x-3}<0\); б) \(\frac{x^2-10x+25}{x^2-4x-12}\ge0\).

Ответ: