Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
3. Решите систему линейных уравнений: (5x - 3y + 4z = 11 2x - y - 2z = -6 3x - 2y + z = 2
Ответ:
3. Решение системы линейных уравнений
Система уравнений:
\( \begin{cases} 5x - 3y + 4z = 11 \\ 2x - y - 2z = -6 \\ 3x - 2y + z = 2 \end{cases} \)
Будем решать методом Гаусса. Преобразуем систему:
- Из второго уравнения выразим \( y \):
\( y = 2x - 2z + 6 \)
- Подставим это выражение в первое и третье уравнения:
Первое уравнение: \( 5x - 3(2x - 2z + 6) + 4z = 11 \)
\( 5x - 6x + 6z - 18 + 4z = 11 \)
\( -x + 10z = 29 \) (Уравнение 4)
\( 5x - 6x + 6z - 18 + 4z = 11 \)
\( -x + 10z = 29 \) (Уравнение 4)
Третье уравнение: \( 3x - 2(2x - 2z + 6) + z = 2 \)
\( 3x - 4x + 4z - 12 + z = 2 \)
\( -x + 5z = 14 \) (Уравнение 5)
\( 3x - 4x + 4z - 12 + z = 2 \)
\( -x + 5z = 14 \) (Уравнение 5)
- Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными \( x \) и \( z \):
\( \begin{cases} -x + 10z = 29 \\ -x + 5z = 14 \end{cases} \)
- Вычтем пятое уравнение из четвертого, чтобы найти \( z \):
\( (-x + 10z) - (-x + 5z) = 29 - 14 \)
\( -x + 10z + x - 5z = 15 \)
\( 5z = 15 \)
\( z = 3 \)
\( -x + 10z + x - 5z = 15 \)
\( 5z = 15 \)
\( z = 3 \)
- Подставим значение \( z=3 \) в уравнение 5, чтобы найти \( x \):
\( -x + 5(3) = 14 \)
\( -x + 15 = 14 \)
\( -x = 14 - 15 \)
\( -x = -1 \)
\( x = 1 \)
\( -x + 15 = 14 \)
\( -x = 14 - 15 \)
\( -x = -1 \)
\( x = 1 \)
- Теперь подставим значения \( x=1 \) и \( z=3 \) в выражение для \( y \):
\( y = 2x - 2z + 6 \)
\( y = 2(1) - 2(3) + 6 \)
\( y = 2 - 6 + 6 \)
\( y = 2 \)
\( y = 2(1) - 2(3) + 6 \)
\( y = 2 - 6 + 6 \)
\( y = 2 \)
Проверка:
Первое уравнение: \( 5(1) - 3(2) + 4(3) = 5 - 6 + 12 = 11 \) (Верно)
Второе уравнение: \( 2(1) - 2 - 2(3) = 2 - 2 - 6 = -6 \) (Верно)
Третье уравнение: \( 3(1) - 2(2) + 3 = 3 - 4 + 3 = 2 \) (Верно)
Ответ: \( x = 1, y = 2, z = 3 \).
Похожие
