3. Решите систему неравенств: а) {x² + x − 12 < 0; x² − x − 2 ≥ 0}; б) {x² − 2x − 8 > 0; (x − 4)/(x² + 3) < 0}; в) {|x − 1| < 4; x² + x − 30 ≥ 0}.

Question

Вопрос:

Фото задания

3. Решите систему неравенств: а) {x² + x − 12 < 0; x² − x − 2 ≥ 0}; б) {x² − 2x − 8 > 0; (x − 4)/(x² + 3) < 0}; в) {|x − 1| < 4; x² + x − 30 ≥ 0}.

Accepted Answer

а) Решим каждое неравенство и пересечём полученные множества.

\(x^2+x-12=(x+4)(x-3)<0\), поэтому \(-4

\(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\ge0\), поэтому \(x\le-1\) или \(x\ge2\).

Пересечение решений: \((-4;-1]\cup[2;3)\).

б) В знаменателе второй дроби \(x^2+3>0\) при любом действительном \(x\). Поэтому \(\dfrac{x-4}{x^2+3}<0\) равносильно \(x<4\). Первое неравенство раскладывается на множители: \((x-4)(x+2)>0\), откуда \(x<-2\) или \(x>4\). Пересечение с \(x<4\) даёт \(x<-2\).

Ответ: \(x\in(-\infty;-2)\).

в) Из \(|x-1|<4\) получаем \(-4

\(x^2+x-30=(x+6)(x-5)\ge0\), поэтому \(x\le-6\) или \(x\ge5\).

Эти множества не пересекаются с промежутком \((-3;5)\).

Ответ: решений нет, \(\varnothing\).