3. Решите систему уравнений: \(\begin{cases} y - 5x = 1 \\ y^2 - 13x = 23 \end{cases}\)

Решение:

Это система нелинейных уравнений. Решим ее методом подстановки.

1. Выразим y из первого уравнения:

   Из y - 5x = 1 следует y = 5x + 1.

2. Подставим полученное выражение для y во второе уравнение:

   (5x + 1)^2 - 13x = 23

3. Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

   (25x^2 + 10x + 1) - 13x = 23

   25x^2 - 3x + 1 = 23

   25x^2 - 3x - 22 = 0

4. Решим полученное квадратное уравнение, используя дискриминант:

   a = 25, b = -3, c = -22.

   D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 25 * (-22) = 9 + 100 * 22 = 9 + 2200 = 2209.

   √D = √2209 = 47.

5. Найдем значения x:

   x₁ = (-b - √D) / 2a = (3 - 47) / (2 * 25) = -44 / 50 = -22 / 25.

   x₂ = (-b + √D) / 2a = (3 + 47) / (2 * 25) = 50 / 50 = 1.

6. Найдем соответствующие значения y, подставив найденные x в уравнение y = 5x + 1:

   При x₁ = -22 / 25:

   y₁ = 5 * (-22 / 25) + 1 = -22 / 5 + 1 = -22 / 5 + 5 / 5 = -17 / 5.

   При x₂ = 1:

   y₂ = 5 * 1 + 1 = 6.

Ответ: (-22/25; -17/5) и (1; 6)