3. Решите треугольник: a = 10; β = 12; ∠A = 45°.

В условии обозначение \(\beta\) трактуем как длину стороны \(b=12\), поскольку задана сторона вместе со стороной \(a\) и углом \(A\). По теореме синусов:

\(\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{12\sin45°}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}\).

Синус задаёт два возможных угла: \(B_1\approx58.05°\) и \(B_2\approx121.95°\). Оба подходят, поскольку вместе с \(A=45°\) дают сумму меньше 180°.

Для первого треугольника: \(C_1=180°-45°-58.05°\approx76.95°\); \(c_1=\frac{a\sin C_1}{\sin A}\approx13.75\).

Для второго треугольника: \(C_2=180°-45°-121.95°\approx13.05°\); \(c_2=\frac{a\sin C_2}{\sin A}\approx3.20\).

Ответ: возможны два треугольника: (\(B\approx58.05°\), \(C\approx76.95°\), \(c\approx13.75\)) или (\(B\approx121.95°\), \(C\approx13.05°\), \(c\approx3.20\)).