3. Решите треугольник: a = 10; b = 12; ∠A = 45°.

Дано две стороны и угол, лежащий напротив одной из них; возможны два треугольника. По теореме синусов:

\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\), поэтому \(\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{12\cdot\sin45^\circ}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}\).

Отсюда \(B_1\approx58.05^\circ\) или \(B_2\approx121.95^\circ\). Оба значения допустимы, поскольку вместе с \(A=45^\circ\) дают сумму меньше 180°.

Для первого случая: \(C_1=180^\circ-45^\circ-58.05^\circ\approx76.95^\circ\). По теореме синусов \(c_1=\frac{10\sin C_1}{\sin45^\circ}\approx13.71\).

Для второго случая: \(C_2=180^\circ-45^\circ-121.95^\circ\approx13.05^\circ\). Тогда \(c_2=\frac{10\sin C_2}{\sin45^\circ}\approx3.19\).

Ответ: возможны два решения: \(B\approx58.05^\circ, C\approx76.95^\circ, c\approx13.71\); или \(B\approx121.95^\circ, C\approx13.05^\circ, c\approx3.19\).