Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 3. Решите уравнение: 1) \((2\cos x-1)(\sin 2x+1)=0\); 2) \(2\operatorname{tg}^2x-7\operatorname{tg}x+3=0\); 3)…Фото задания

Ответ:

  1. Произведение равно нулю, если равен нулю хотя бы один множитель.

    \(2\cos x-1=0\), значит \(\cos x=\frac12\), откуда \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\).

    \(\sin 2x+1=0\), значит \(\sin 2x=-1\). Тогда \(2x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k\), откуда \(x=\frac{3\pi}{4}+\pi k\).

  2. Положим \(t=\operatorname{tg}x\). Тогда \(2t^2-7t+3=0\), то есть \((2t-1)(t-3)=0\). Поэтому \(t=\frac12\) или \(t=3\).

    При \(\operatorname{tg}x=\frac12\): \(x=\operatorname{arctg}\frac12+\pi k\). При \(\operatorname{tg}x=3\): \(x=\operatorname{arctg}3+\pi k\).

  3. Используем тождество \(\cos^2x=1-\sin^2x\):

    \(2(1-\sin^2x)-\sin x+1=0\).

    Обозначим \(y=\sin x\). Получим \(2y^2+y-3=0\), или \((2y+3)(y-1)=0\). Значение \(y=-\frac32\) невозможно, поскольку \(|\sin x|\leq1\). Значит, \(\sin x=1\), откуда \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\).

Во всех пунктах \(k\in\mathbb Z\).

Ответ: 1) \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\) или \(x=\frac{3\pi}{4}+\pi k\); 2) \(x=\operatorname{arctg}\frac12+\pi k\) или \(x=\operatorname{arctg}3+\pi k\); 3) \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).