3. Решите уравнение 5x³ - 19x² - 38x + 40 = 0

Решение:

Для решения кубического уравнения попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (40). Делители числа 40: \(\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 8, \pm 10, \pm 20, \pm 40\).

1. Проверим \( x = 2 \): \( 5(2)^3 - 19(2)^2 - 38(2) + 40 = 5(8) - 19(4) - 76 + 40 = 40 - 76 - 76 + 40 = 80 - 152 = -72 \neq 0 \)
2. Проверим \( x = -2 \): \( 5(-2)^3 - 19(-2)^2 - 38(-2) + 40 = 5(-8) - 19(4) + 76 + 40 = -40 - 76 + 76 + 40 = 0 \). Значит, \( x = -2 \) — один из корней.
3. Так как \( x = -2 \) является корнем, то многочлен \( 5x^3 - 19x^2 - 38x + 40 \) делится на \( (x+2) \) без остатка. Выполним деление многочленов столбиком или по схеме Горнера.
4. Используем деление столбиком:

      5x²  - 29x  + 20
    ________________
(x+2) | 5x³ - 19x² - 38x + 40
      -(5x³ + 10x²)
      __________
            -29x² - 38x
           -(-29x² - 58x)
           ____________
                  20x + 40
                 -(20x + 40)
                 ________
                        0

1. Получаем квадратное уравнение: \( 5x^2 - 29x + 20 = 0 \).
2. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 20 = 841 - 400 = 441 \).
3. \( \sqrt{D} = \sqrt{441} = 21 \).
4. Найдем корни квадратного уравнения:
5. \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 + 21}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5 \)
6. \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 - 21}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \)

Ответ: \( x = -2, x = 5, x = \frac{4}{5} \).