Решите уравнение \(\frac{3}{2x-1} = 5x-9\).

Решение:

Перенесём всё в одну сторону:

\[ \frac{3}{2x-1} - (5x-9) = 0 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{3 - (5x-9)(2x-1)}{2x-1} = 0 \]

Числитель должен быть равен нулю, и знаменатель не должен быть равен нулю.

\[ 3 - (10x^2 - 5x - 18x + 9) = 0 \]

\[ 3 - (10x^2 - 23x + 9) = 0 \]

\[ 3 - 10x^2 + 23x - 9 = 0 \]

\[ -10x^2 + 23x - 6 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ 10x^2 - 23x + 6 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-23)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 6 = 529 - 240 = 289 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{289} = 17 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{23 + 17}{2 \cdot 10} = \frac{40}{20} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{23 - 17}{2 \cdot 10} = \frac{6}{20} = 0.3 \]

Проверим знаменатель \(2x-1\) для найденных корней:

Для \(x=2\): \(2(2)-1 = 4-1 = 3 \neq 0\).

Для \(x=0.3\): \(2(0.3)-1 = 0.6-1 = -0.4 \neq 0\).

Оба корня подходят.

Ответ: \(x = 2, x = 0.3\).