3. Решите уравнение \(5x^3-19x^2-38x+40 = 0\).

Решение:

Попробуем найти целочисленные корни среди делителей свободного члена \(40\). Делители \( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 8, \pm 10, \pm 20, \pm 40 \).

Проверим \(x = -2\):

\[ 5(-2)^3 - 19(-2)^2 - 38(-2) + 40 = 5(-8) - 19(4) + 76 + 40 = -40 - 76 + 76 + 40 = 0 \]

Значит, \(x = -2\) является корнем уравнения. Поделим многочлен \(5x^3-19x^2-38x+40\) на \((x+2)\) столбиком:

\( (5x^3-19x^2-38x+40) : (x+2) = 5x^2 - 29x + 20 \)

Теперь решим квадратное уравнение \(5x^2 - 29x + 20 = 0\):

\[ D = (-29)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 20 = 841 - 400 = 441 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{441} = 21 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{29 + 21}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{29 - 21}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} = 0.8 \]

Ответ: \(x = -2, x = 5, x = 0.8\).