3. Решите уравнение: a) $ 8 \cdot 4^x - 6 \cdot 2^x + 1 = 0 $

Question

$Фото задания: 3. Решите уравнение: a) $ 8 \cdot 4^x - 6 \cdot 2^x + 1 = 0 $$ Фото задания

Accepted Answer

Для решения данного уравнения применим замену переменной.

Заметим, что $ 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 $.
Пусть $ y = 2^x $. Тогда исходное уравнение примет вид: $ 8y^2 - 6y + 1 = 0 $.
Решим полученное квадратное уравнение относительно $ y $. Найдем дискриминант: $ D = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 - 32 = 4 $.
Найдем корни квадратного уравнения: $ y_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{6 \pm 2}{16} $.
$ y_1 = \frac{6 + 2}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} $.
$ y_2 = \frac{6 - 2}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $.
Теперь вернемся к замене $ y = 2^x $:

Для $ y_1 = \frac{1}{2} $: $ 2^x = \frac{1}{2} $. Так как $ \frac{1}{2} = 2^{-1} $, то $ 2^x = 2^{-1} $, откуда $ x = -1 $.
Для $ y_2 = \frac{1}{4} $: $ 2^x = \frac{1}{4} $. Так как $ \frac{1}{4} = 2^{-2} $, то $ 2^x = 2^{-2} $, откуда $ x = -2 $.

Ответ: x = -1, x = -2.

3. Решите уравнение: a) \( 8 \cdot 4^x - 6 \cdot 2^x + 1 = 0 \)