3. Решите уравнение: а) $(\lg x)^2-\lg x=2$; б) $3^{2x-3}-8\cdot3^{x-2}=3$; в) $\log_2 x-\log_2 4=3$; г) $\log_2(5x-1)-\frac{3}{\log_2(5x-1)-1}+1=0$; д) $5^x-6\cdot5^{-x}=3{,}8$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Решите уравнение: а) $(\lg x)^2-\lg x=2$; б) $3^{2x-3}-8\cdot3^{x-2}=3$; в) $\log_2 x-\log_2 4=3$; г)…$ Фото задания

3. Решите уравнение: а) $(\lg x)^2-\lg x=2$; б) $3^{2x-3}-8\cdot3^{x-2}=3$; в) $\log_2 x-\log_2 4=3$; г) $\log_2(5x-1)-\frac{3}{\log_2(5x-1)-1}+1=0$; д) $5^x-6\cdot5^{-x}=3{,}8$.

Accepted Answer

а) Область определения: $x>0$. Обозначим $t=\lg x$. Тогда $t^2-t=2$, то есть $(t-2)(t+1)=0$. Поэтому $t=2$ или $t=-1$, откуда $x=100$ или $x=0{,}1$.

б) Положим $y=3^{x-2}$, где $y>0$. Тогда $3^{2x-3}=3y^2$, и уравнение принимает вид $3y^2-8y=3$, или $3y^2-8y-3=0$. Корни: $y=3$ и $y=-\frac{1}{3}$. Учитывая $y>0$, берём $y=3$. Значит, $3^{x-2}=3$, откуда $x=3$.

в) $\log_2 4=2$, поэтому $\log_2 x=5$ и $x=32$.

г) Область определения: $x>\frac{1}{5}$ и $\log_2(5x-1)\ne1$. Обозначим $t=\log_2(5x-1)$. Тогда $t-\frac{3}{t-1}+1=0$. Умножая на $t-1$, получаем $(t+1)(t-1)-3=0$, то есть $t^2=4$. Следовательно, $t=2$ или $t=-2$. При $t=2$: $5x-1=4$, откуда $x=1$. При $t=-2$: $5x-1=\frac{1}{4}$, откуда $x=\frac{1}{4}$. Оба корня удовлетворяют области определения.

д) Положим $y=5^x$, где $y>0$. Тогда $5^{-x}=\frac{1}{y}$, поэтому $y-\frac{6}{y}=3{,}8$. Умножая на $y$, получаем $y^2-3{,}8y-6=0$. Положительный корень этого уравнения равен $y=\frac{19+\sqrt{661}}{10}$. Значит, $5^x=\frac{19+\sqrt{661}}{10}$, откуда $x=\log_5\left(\frac{19+\sqrt{661}}{10}\right)$.

Ответ: а) 0,1; 100; б) 3; в) 32; г) $\frac{1}{4}$; 1; д) $\log_5\left(\frac{19+\sqrt{661}}{10}\right)$.

3. Решите уравнение: а) \((\lg x)^2-\lg x=2\); б) \(3^{2x-3}-8\cdot3^{x-2}=3\); в) \(\log_2 x-\log_2 4=3\); г) \(\log_2(5x-1)-\frac{3}{\log_2(5x-1)-1}+1=0\); д) \(5^x-6\cdot5^{-x}=3{,}8\).

Ответ: