Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
- а) Область определения: \(x>0\). Обозначим \(t=\lg x\). Тогда \(t^2-t=2\), то есть \((t-2)(t+1)=0\). Поэтому \(t=2\) или \(t=-1\). Возвращаясь к переменной \(x\), получаем \(x=10^2=100\) или \(x=10^{-1}=0{,}1\).
- б) Положим \(t=3^{x-2}>0\). Тогда \(3^{2x-3}=3^{2(x-2)+1}=3t^2\). Уравнение принимает вид \(3t^2-8t=3\), или \(3t^2-8t-3=0\). Корни: \(t=3\) и \(t=-\frac{1}{3}\). Поскольку \(t>0\), оставляем \(t=3\). Значит, \(3^{x-2}=3\), откуда \(x=3\).
- в) Так как \(\log_4x=\frac{1}{2}\log_2x\), имеем \(\frac{1}{2}\log_2x=3\). Следовательно, \(\log_2x=6\), и \(x=64\).
- г) Область определения: \(5x-1>0\) и \(\log_2(5x-1)\ne0\). Обозначим \(t=\log_2(5x-1)\). Тогда \(t-\frac{3}{t}+1=0\). Умножаем на \(t\ne0\): \(t^2+t-3=0\). Отсюда \(t=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}\). Из равенства \(\log_2(5x-1)=t\) следует \(x=\frac{1+2^t}{5}\). Оба значения допустимы, поскольку соответствующие аргументы логарифма положительны, а полученные значения \(t\) не равны нулю. Поэтому \(x=\frac{1+2^{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}}}{5}\) или \(x=\frac{1+2^{\frac{-1-\sqrt{13}}{2}}}{5}\).
- д) Положим \(t=5^x>0\). Тогда \(5^{-x}=\frac{1}{t}\), и уравнение принимает вид \(t-\frac{6}{t}=3{,}8\). Умножаем на \(t\): \(t^2-3{,}8t-6=0\). Корни: \(t=5\) и \(t=-1{,}2\). Так как \(t>0\), получаем \(t=5\). Следовательно, \(5^x=5\), откуда \(x=1\).
Ответ: а) \(100;\ 0{,}1\); б) \(3\); в) \(64\); г) \(\frac{1+2^{\frac{-1+\sqrt{13}}{2}}}{5};\ \frac{1+2^{\frac{-1-\sqrt{13}}{2}}}{5}\); д) \(1\).
