3. Решите уравнение (п + 2)! = 42п!, если п∈ N.

Краткое пояснение:

Решение:

• Представим (n + 2)! через n!:

(n + 2)! = (n + 2) · (n + 1) · n!

• Подставим в уравнение:

(n + 2) · (n + 1) · n! = 42 · n!

• Сократим n! (так как n ∈ N, n! ≠ 0):

(n + 2) · (n + 1) = 42

• Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

n^2 + n + 2n + 2 = 42

n^2 + 3n + 2 - 42 = 0

n^2 + 3n - 40 = 0

• Решим квадратное уравнение (можно использовать дискриминант или теорему Виета). Найдем корни:

D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 · 1 · (-40) = 9 + 160 = 169

√ D = 13

n_1 = 
\frac{-b + √ D}{2a} = 
\frac{-3 + 13}{2 · 1} = 
\frac{10}{2} = 5

n_2 = 
\frac{-b - √ D}{2a} = 
\frac{-3 - 13}{2 · 1} = 
\frac{-16}{2} = -8

• По условию n ∈ N (натуральные числа), поэтому n = -8 не подходит.

Финальный ответ:

Ответ: 5