3) Решите уравнения: 1) √(x + 21) = x − 1; 2) √(3x + 11) = x − 2; 3) √(x² − 8x + 11) = x²; 4) ⁵√(6x + 9) = ⁵√32; 5) √(x + 11) = x − 12.

1. Из условия существования корня и неотрицательности правой части: \(x\ge1\). Возводим обе части в квадрат:

   \(x+21=(x-1)^2\), поэтому \(x^2-3x-20=0\), откуда \(x=5\) или \(x=-4\). Условию \(x\ge1\) подходит только \(x=5\).

2. Необходимо \(x\ge2\). Возводим обе части в квадрат:

   \(3x+11=(x-2)^2\), то есть \(x^2-7x-7=0\). Корни: \(x=\frac{7\pm\sqrt{77}}{2}\). Условию подходит только \(\frac{7+\sqrt{77}}{2}\).

3. После возведения в квадрат получаем \(x^2-8x+11=x^4\), или \(x^4-x^2+8x-11=0\). Уравнение не имеет простых рациональных корней; численно его действительные корни равны примерно \(-2.46235\) и \(1.25904\). Для обоих значений подкоренное выражение неотрицательно, и исходное равенство выполняется.

4. Функция пятого корня строго возрастает, поэтому приравниваем подкоренные выражения:

   \(6x+9=32\), откуда \(x=\frac{23}{6}\).

5. Необходимо \(x\ge12\). Возводим обе части в квадрат:

   \(x+11=(x-12)^2\), поэтому \(x^2-25x+133=0\). Корни: \(x=\frac{25\pm\sqrt{93}}{2}\). Условию \(x\ge12\) подходит только \(\frac{25+\sqrt{93}}{2}\).

Ответ: 1) 5; 2) \(\frac{7+\sqrt{77}}{2}\); 3) \(x\approx-2.46235\) или \(x\approx1.25904\); 4) \(\frac{23}{6}\); 5) \(\frac{25+\sqrt{93}}{2}\).