3) Решите уравнения: a) 2^(x+3) + 2^(x+1) - 7 * 2^x = 48; б) 6 cos^2 x + cos x - 1 = 0; в) log_2 3 - log_2(2-3x) = 2 - log_2(4-3x)

Решение:

а) \( 2^{x+3} + 2^{x+1} - 7 \cdot 2^x = 48 \)

Вынесем общий множитель \( 2^x \):

\( 2^x \cdot 2^3 + 2^x \cdot 2^1 - 7 \cdot 2^x = 48 \)

\( 2^x (8 + 2 - 7) = 48 \)

\( 2^x (3) = 48 \)

\( 2^x = \frac{48}{3} \)

\( 2^x = 16 \)

Так как \( 16 = 2^4 \), то:

\( 2^x = 2^4 \)

Следовательно, \( x = 4 \).

Ответ: \( x = 4 \).

б) \( 6 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0 \)

Сделаем замену переменной: пусть \( t = \cos x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 6t^2 + t - 1 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( t \). Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 \]

Найдем корни \( t \):

\[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]\[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} \]

Теперь вернемся к замене \( t = \cos x \):

1. \( \cos x = \frac{1}{3} \)
2. \( \cos x = -\frac{1}{2} \)

Решения для \( \cos x = \frac{1}{3} \):

\[ x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Решения для \( \cos x = -\frac{1}{2} \):

\[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k, \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z} \).

в) \( \log_2 3 - \log_2(2-3x) = 2 - \log_2(4-3x) \)

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. \( 2 - 3x > 0 \Rightarrow 2 > 3x \Rightarrow x < \frac{2}{3} \)
2. \( 4 - 3x > 0 \Rightarrow 4 > 3x \Rightarrow x < \frac{4}{3} \)

Объединяя условия, получаем \( x < \frac{2}{3} \).

Перенесем все логарифмы в одну сторону, а числа — в другую:

\[ \log_2 3 + \log_2(4-3x) - \log_2(2-3x) = 2 \]

Используем свойства логарифмов \( \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) \) и \( \log_a b - \log_a c = \log_a (b/c) \):

\[ \log_2 \left( \frac{3(4-3x)}{2-3x} \right) = 2 \]

Перейдем от логарифмического уравнения к показательному:

\[ \frac{3(4-3x)}{2-3x} = 2^2 \]\[ \frac{12-9x}{2-3x} = 4 \]

Умножим обе части на \( (2-3x) \), учитывая, что \( 2-3x \neq 0 \):

\[ 12 - 9x = 4(2-3x) \]\[ 12 - 9x = 8 - 12x \]

Перенесем члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую:

\[ -9x + 12x = 8 - 12 \]\[ 3x = -4 \]\[ x = -\frac{4}{3} \]

Проверим, попадает ли найденное значение \( x \) в ОДЗ \( x < \frac{2}{3} \).

\( -\frac{4}{3} < \frac{2}{3} \) — это верно.

Ответ: \( x = -\frac{4}{3} \).