4) Задача: Прямоугольная трапеция с основаниями 6 см и 10 см и высотой 3 см вращается около большего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Решение:

Тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции вокруг большего основания, состоит из цилиндра и двух конусов.

Дано:

• Основания трапеции: \( a = 10 \) см (большее), \( b = 6 \) см (меньшее).
• Высота трапеции: \( h = 3 \) см.
• Ось вращения — большее основание \( a \).

Найти: Площадь поверхности тела вращения \( S_{пов} \).

Разбор тела вращения:

1. Цилиндр: Образуется вращением боковой стороны трапеции, перпендикулярной основаниям, которая равна высоте трапеции \( h \). Радиус цилиндра равен меньшей боковой стороне трапеции (которая не является основанием), а высота цилиндра — большему основанию \( a \). НО! В данном случае ось вращения — это большее основание. Значит, цилиндр образуется вращением той части большего основания, которая находится между проекциями меньшей боковой стороны и высоты. Радиус цилиндра равен высоте трапеции \( R_{цил} = h = 3 \) см. Высота цилиндра равна меньшему основанию \( H_{цил} = b = 6 \) см.
2. Конусы: Два конуса образуются вращением наклонной боковой стороны трапеции. Радиус основания каждого конуса равен высоте трапеции \( R_{кон} = h = 3 \) см. Высоты конусов будут составлять разницу между большим и меньшим основаниями, разделенную пополам, если трапеция равнобедренная. Но у нас прямоугольная трапеция.

Переосмысление тела вращения:

При вращении прямоугольной трапеции вокруг большего основания, мы получаем:

1. Цилиндр: Радиус цилиндра равен высоте трапеции \( R = h = 3 \) см. Высота цилиндра равна меньшему основанию \( H_{цил} = b = 6 \) см.
2. Конус: Образуется вращением наклонной боковой стороны. Радиус конуса равен высоте трапеции \( R_{кон} = h = 3 \) см. Высота этого конуса равна разнице между основаниями \( H_{кон} = a - b = 10 - 6 = 4 \) см.

Площадь поверхности тела вращения складывается из:

• Площади боковой поверхности цилиндра: \( S_{бок.цил} = 2 \pi R H_{цил} \)
• Площади боковой поверхности конуса: \( S_{бок.кон} = \pi R L \), где \( L \) — образующая конуса.

Вычислим параметры:

• Радиус цилиндра и конуса: \( R = 3 \) см.
• Высота цилиндра: \( H_{цил} = 6 \) см.
• Высота конуса: \( H_{кон} = 4 \) см.
• Найдем образующую конуса \( L \) по теореме Пифагора: \( L = \sqrt{R^2 + H_{кон}^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) см.

Вычислим площади:

• Боковая поверхность цилиндра: \( S_{бок.цил} = 2 \pi \cdot 3 \cdot 6 = 36 \pi \) см².
• Боковая поверхность конуса: \( S_{бок.кон} = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15 \pi \) см².

Общая площадь поверхности тела вращения — это сумма боковой поверхности цилиндра и боковой поверхности конуса:

\[ S_{пов} = S_{бок.цил} + S_{бок.кон} \]\[ S_{пов} = 36 \(\pi\) + 15 \(\pi\) = 51 \(\pi\) \) см².

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна \( 51 \pi \) см².