№ 3. Решите уравнения: а) \(3^{6-x}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2-3x}\); б) \(\sqrt{2x-1}=x-2\).

а) Представим правую часть как степень числа 3: \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2-3x}=3^{-(2-3x)}=3^{3x-2}\). При равных основаниях приравниваем показатели:

\(6-x=3x-2\), значит \(8=4x\), откуда \(x=2\).

Проверка: обе части равны \(3^4=81\).

б) Область определения требует \(2x-1\ge0\). Кроме того, левая часть неотрицательна, поэтому необходимо \(x-2\ge0\), то есть \(x\ge2\). Возводим обе части в квадрат:

\(2x-1=(x-2)^2=x^2-4x+4\).

Переносим всё в одну сторону: \(x^2-6x+5=0\), откуда \((x-1)(x-5)=0\). Возможные корни: \(x=1\) и \(x=5\). Условию \(x\ge2\) удовлетворяет только \(x=5\). Проверка: \(\sqrt{2\cdot5-1}=3=5-2\).

Ответ: а) \(x=2\); б) \(x=5\).