№3. Решите уравнения с помощью замены переменной: а) $(x^2+x-1)(x^2+x+2)=40$; б) $(2x^2+x-1)(2x^2+x-4)+2=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: №3. Решите уравнения с помощью замены переменной: а) $(x^2+x-1)(x^2+x+2)=40$; б) $(2x^2+x-1)(2x^2+x-4)+2=0$.$ Фото задания

Accepted Answer

а) Сделаем замену $u=x^2+x$. Тогда

$(u-1)(u+2)=40$;

$u^2+u-42=0$;

$(u-6)(u+7)=0$, поэтому $u=6$ или $u=-7$.

При $u=6$: $x^2+x-6=0$, откуда $(x-2)(x+3)=0$, значит, $x=2$ или $x=-3$.

При $u=-7$: $x^2+x+7=0$. Дискриминант равен $-27$, поэтому действительных корней нет.

б) Сделаем замену $u=2x^2+x$. Получаем

$(u-1)(u-4)+2=0$;

$u^2-5u+6=0$;

$(u-2)(u-3)=0$, поэтому $u=2$ или $u=3$.

При $u=2$: $2x^2+x-2=0$, откуда $x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{4}$.

При $u=3$: $2x^2+x-3=0$; разложение на множители даёт $(2x+3)(x-1)=0$, значит, $x=-\frac32$ или $x=1$.

Ответ: а) $x=-3;\ 2$; б) $x=\frac{-1-\sqrt{17}}4;\ -\frac32;\ 1;\ \frac{-1+\sqrt{17}}4$.

№3. Решите уравнения с помощью замены переменной: а) \((x^2+x-1)(x^2+x+2)=40\); б) \((2x^2+x-1)(2x^2+x-4)+2=0\).