3. Решите уравнения способом введения новой переменной: а) (x⁴ − 2(x − 1)²)² − 3 = 0; б) (x + 1)⁴ + 2(x + 1)² − 8 = 0.

а) Введём новую переменную \(t=x^4-2(x-1)^2\). Тогда уравнение принимает вид \(t^2-3=0\), откуда \(t=\pm\sqrt3\). Следовательно, требуется решить два уравнения:

1) \(x^4-2(x-1)^2=\sqrt3\), то есть \(x^4-2x^2+4x-2-\sqrt3=0\);
2) \(x^4-2(x-1)^2=-\sqrt3\), то есть \(x^4-2x^2+4x-2+\sqrt3=0\).

Оба уравнения — уравнения четвёртой степени без простой факторизации над рациональными числами. Их действительные корни приближённо: для первого \(x\approx-1.485\) и \(x\approx0.443\); для второго \(x\approx-1.529\) и \(x\approx-0.132\). Иные действительные корни отсутствуют.

б) Положим \(t=(x+1)^2\), где \(t\ge0\). Тогда \(t^2+2t-8=0\), то есть \((t+4)(t-2)=0\). Значение \(t=-4\) не подходит, поэтому \((x+1)^2=2\). Отсюда \(x+1=\pm\sqrt2\), значит \(x=-1\pm\sqrt2\).

Ответ: а) приближённо \(x\approx-1.529,-1.485,-0.132,0.443\); б) \(x=-1\pm\sqrt2\).