3. Решите задачи. 1) В параллелограмме ABCD ∠BCA = 75°, ∠ACD = 60°, AD = 3√3. Найдите AC. 2) В треугольнике ABC найдите ∠C, если AB = 6, BC = 6√3, ∠A = 60°. 3) Радиус окружности на рисунке 1 равен 7√3, ∠ABC = 120°. Найдите длину хорды AC. 4) В треугольнике ABC ∠BAC = 30°, AB = 3√3, AC = 4. Найдите BC. 5) В треугольнике ABC AB = 6, BC = 5, AC = 9. Найдите [условие обрезано: не указано, что требуется найти].

1) В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому \(BC=AD=3\sqrt3\). В треугольнике \(ABC\) по теореме синусов:

\(\frac{AC}{\sin75^\circ}=\frac{BC}{\sin60^\circ}\), поэтому \(AC=3\sqrt3\cdot\frac{\sin75^\circ}{\sin60^\circ}\).

Так как \(\sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\), получаем \(AC=\frac{3(\sqrt6+\sqrt2)}{2}\).

2) По теореме синусов, обозначив \(a=BC\), \(c=AB\): \(\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}\). Следовательно, \(\sin C=\frac{6\sin60^\circ}{6\sqrt3}=\frac12\). Возможны углы \(C=30^\circ\) или \(150^\circ\), но второй невозможен: вместе с \(A=60^\circ\) сумма углов превысила бы \(180^\circ\). Значит, \(\angle C=30^\circ\).

3) Вписанный угол \(\angle ABC=120^\circ\) стягивает большую дугу AC, поэтому соответствующий меньший центральный угол равен \(360^\circ-2\cdot120^\circ=120^\circ\). Длина хорды: \(AC=2R\sin60^\circ=2\cdot7\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=21\).

4) По теореме косинусов:

\(BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos30^\circ\).

\(BC^2=(3\sqrt3)^2+4^2-2\cdot3\sqrt3\cdot4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=27+16-36=7\), поэтому \(BC=\sqrt7\).

5) В условии не указано, какую величину требуется найти. Пришлите продолжение пункта 5 целиком. Из имеющихся данных можно определить, например, площадь: полупериметр \(s=(6+5+9)/2=10\), поэтому по формуле Герона \(S=\sqrt{10\cdot4\cdot5\cdot1}=10\sqrt2\). Однако это не заменяет отсутствующую формулировку искомой величины.

Ответ: 1) \(AC=\frac{3(\sqrt6+\sqrt2)}{2}\); 2) \(30^\circ\); 3) 21; 4) \(\sqrt7\). Для пункта 5 нужна обрезанная часть условия.