3. Рис. 204. ABCD — прямоугольник. На стороне BC отмечена точка E. AB = 4 см, ED = 6 см, ∠AED = 75°. Найти AD.

Рассмотрим треугольник AED. Так как ABCD — прямоугольник, высота из точки E к стороне AD равна \(AB=4\) см.

Обозначим угол \(ADE\) через \(\alpha\). В прямоугольном треугольнике, образованном отрезком \(ED\) и высотой 4 см:

\(\sin\alpha=\dfrac{AB}{ED}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\),
\(\alpha\approx41.81^\circ\).

Тогда угол \(EAD\) равен:

\(\angle EAD=180^\circ-75^\circ-41.81^\circ\approx63.19^\circ\).

По теореме синусов в треугольнике AED:

\(\dfrac{AD}{\sin75^\circ}=\dfrac{ED}{\sin\angle EAD}\).

Следовательно,

\(AD=\dfrac{6\sin75^\circ}{\sin63.19^\circ}\approx6.49\text{ см}\).

Ответ: \(AD\approx6.49\) см.