3. С натуральным числом, записанным в десятичной системе, разрешается проделать следующие операции: 1) приписать на конце цифру 4; 2) приписать на конце цифру 0; 3) разделить на 2 (если число чётно). Можно ли из числа 4 получить 2007?

Приписывать цифры и делить на 2 не требуется. Достаточно многократно выполнить операцию прибавления 4: после 501 такого шага получим 4 + 501 · 4 = 2008, а это не 2007. Однако операцией 3 из 4 можно получить 2, затем выполнить прибавление 4 и получить 6; все дальнейшие прибавления 4 сохраняют остаток 2 при делении на 4. Число 2007 имеет остаток 3 при делении на 4, поэтому его так получить нельзя. Проверим также влияние приписывания цифр: приписывание 0 даёт число, кратное 10, а приписывание 4 — число с последней цифрой 4. Чтобы закончить числом 2007, последняя операция должна быть прибавлением 4, поскольку число не заканчивается на 0 или 4 и нечётно. Тогда предыдущее число должно быть 2003. Обратное применение возможных операций к нечётному числу 2003 позволяет только вычитать 4; при этом числа сохраняют остаток 3 по модулю 4. Начальное число 4 имеет остаток 0, значит, 2003 из него получить нельзя.

Ответ: нет.