4. Билл Шифр, заточённый в измерении, решил поиздеваться над жителями Гравити Фолз. У него есть 10 пленников. Первому он выдал одну золотую монету с его символом, второму — две, третьему — три, и так далее, десятому — десять. Затем он объяснил правило: каждую минуту пленники могут попросить его выдать девяти из них по одной дополнительной золотой монете. Если в какой-то момент у всех пленников монет станет поровну, они могут взять их и быть свободными. Смогут ли жители Гравити Фолз перехитрить Билла и забрать золото?

Да. Пронумеруем пленников от 1 до 10: изначально у пленника с номером k есть k монет. Пусть каждую минуту монету получает каждый, кроме одного выбранного пленника.

Шаг 1. За первые 45 минут не выдаём монету пленнику № 1 ни разу. Остальных исключаем из раздачи соответственно 1, 2, 3, …, 9 раз: пленника № 2 — один раз, № 3 — два раза и так далее, № 10 — девять раз. Это можно сделать, поскольку всего таких исключений 1 + 2 + … + 9 = 45, по одному на каждую минуту.

Шаг 2. Пленник № 1 получит 45 монет и будет иметь 46. Пленник № k, где k от 2 до 10, получит 45 − (k − 1) монет. Вместе с первоначальными k монетами у него будет k + 45 − (k − 1) = 46 монет.

Значит, через 45 минут у всех будет по 46 монет. Раздача каждый раз соответствует условию: монету получают ровно девять пленников.

Ответ: да, через 45 минут у каждого будет по 46 монет, и пленники смогут забрать их.