3. SABC — правильный тетраэдр с ребром 3. Найдите скалярное произведение векторов AS и BC. Сделайте вывод.

Используем координаты из рисунка: A(0; 0; 0), B(3/2; 3√3/2; 0), C(3; 0; 0), S(3/2; √3/2; √6).

\(\overrightarrow{AS}=(3/2;\sqrt{3}/2;\sqrt{6})\), \(\overrightarrow{BC}=(3/2;-3\sqrt{3}/2;0)\).

Вычислим скалярное произведение:

\(\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{BC}=(3/2)(3/2)+(\sqrt{3}/2)(-3\sqrt{3}/2)+\sqrt{6}\cdot0=9/4-9/4=0\).

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.

Ответ: \(\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{BC}=0\); векторы \(\overrightarrow{AS}\) и \(\overrightarrow{BC}\) перпендикулярны.