3. Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

Теорема. Любой вектор на плоскости можно, и притом единственным образом, разложить по двум заданным неколлинеарным векторам.

Существование разложения. Пусть заданы неколлинеарные векторы \(\vec a\) и \(\vec b\), а также произвольный вектор \(\vec c\). Отложим их от одной точки \(O\). Через конец вектора \(\vec c\) проведём прямые, параллельные векторам \(\vec a\) и \(\vec b\). Они образуют параллелограмм. Его стороны, выходящие из точки \(O\), равны соответственно \(x\vec a\) и \(y\vec b\) для некоторых чисел \(x\) и \(y\). По правилу сложения векторов \(\vec c=x\vec a+y\vec b\).

Единственность. Пусть существуют два разложения: \(\vec c=x_1\vec a+y_1\vec b\) и \(\vec c=x_2\vec a+y_2\vec b\). Вычитая равенства, получаем \((x_1-x_2)\vec a=-(y_1-y_2)\vec b\). Если бы хотя бы один из коэффициентов был ненулевым, векторы \(\vec a\) и \(\vec b\) оказались бы коллинеарными. Это противоречит условию. Значит, \(x_1=x_2\) и \(y_1=y_2\), поэтому разложение единственно.