3. Сократите дробь: a) \( \frac{\sqrt{11}-\sqrt{5}}{11-\sqrt{55}} \) б) \( \frac{64a^2+16a\sqrt{b}+b}{64a^2-b} \)

Решение:

а) Сократим дробь \( \frac{\sqrt{11}-\sqrt{5}}{11-\sqrt{55}} \):

1. Знаменатель можно представить как \( 11 - \sqrt{5 \cdot 11} = (\sqrt{11})^2 - \sqrt{5} \cdot \sqrt{11} = \sqrt{11}(\sqrt{11} - \sqrt{5}) \).
2. Теперь подставим это в дробь: \( \frac{\sqrt{11}-\sqrt{5}}{\sqrt{11}(\sqrt{11} - \sqrt{5})} \).
3. Сократим общий множитель \( (\sqrt{11} - \sqrt{5}) \).
4. Получим: \( \frac{1}{\sqrt{11}} \).
5. Избавимся от иррациональности в знаменателе: \( \frac{1}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}} = \frac{\sqrt{11}}{11} \).

б) Сократим дробь \( \frac{64a^2+16a\sqrt{b}+b}{64a^2-b} \):

1. Числитель дроби — это квадрат суммы: \( (8a)^2 + 2 \cdot 8a \cdot \sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = (8a + \sqrt{b})^2 \).
2. Знаменатель дроби — это разность квадратов: \( (8a)^2 - (\sqrt{b})^2 = (8a - \sqrt{b})(8a + \sqrt{b}) \).
3. Теперь подставим это в дробь: \( \frac{(8a + \sqrt{b})^2}{(8a - \sqrt{b})(8a + \sqrt{b})} \).
4. Сократим общий множитель \( (8a + \sqrt{b}) \).
5. Получим: \( \frac{8a + \sqrt{b}}{8a - \sqrt{b}} \).

Ответ: а) \( \frac{\sqrt{11}}{11} \); б) \( \frac{8a + \sqrt{b}}{8a - \sqrt{b}} \).